关于私生孙子能否继承爷爷奶奶留下的遗产这个问题，我们可以从法律的角度进行详细分析。
结论前置：在一般情况下，私生孙子并不直接具备继承爷爷奶奶遗产的法定资格。但在某些特定情形下，私生孙子有可能获得遗产。 详细分析：1. 法定继承顺序：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的继承顺序是明确的。第一顺序继承人包括配偶、子女、父母；第二顺序继承人包括兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。孙子并不在这一继承顺序之中。2. 特定情形下的继承：
- 代位继承：如果私生孙子的父亲（或母亲）在爷爷奶奶之前去世，且原本有权继承爷爷奶奶的遗产，那么私生孙子可以代替其已故的父亲（或母亲）继承那部分遗产。这是依据《民法典》第一千一百二十八条的规定。 - 转继承：如果父亲（或母亲）在爷爷奶奶去世后、遗产分割前去世，且没有放弃继承权，那么父亲（或母亲）应继承的遗产份额将转给其继承人，包括私生孙子。这是根据《民法典》第一千一百五十二条的规定。 - 遗赠扶养协议：如果私生孙子与爷爷奶奶签订了遗赠扶养协议，并承担了相应的生养死葬义务，那么根据协议的约定，私生孙子有可能获得部分或全部遗产。 - 特定情况下的酌情分得遗产权：在某些特殊情况下，如私生孙子对爷爷奶奶尽了主要赡养义务或者与爷爷奶奶共同生活等，根据法律规定和司法实践，私生孙子可能会酌情分得一部分遗产。综上所述，私生孙子在一般情况下并不直接继承爷爷奶奶的遗产，但在代位继承、转继承、遗赠扶养协议以及特定情况下的酌情分得遗产权等特定情形下，有可能获得遗产。如果您或您的家人面临类似的法律问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。