当法院起诉担保人时，担保人应当承担的义务主要取决于担保的类型，即一般保证还是连带责任保证。以下是对这两种情况下担保人应承担义务的详细解释：

1. 一般保证下的义务：

- 在一般保证下，担保人仅在债务人无法履行到期债务时，才承担偿还责任。也就是说，如果债务人仍有能力或资产来偿还债务，那么担保人通常不需要承担责任。 - 担保人在主合同纠纷未经审判或仲裁，并就债务人财产依法强制执行仍不能履行债务前，享有先诉抗辩权，可以拒绝向债权人承担保证责任。

2. 连带责任保证下的义务：

- 在连带责任保证中，无论债务人是否能够遵守债务承诺，只要出现了当初双方预定的法定事由（如债务履行期限届满且债务人未履行债务），债权人既可以向债务人请求及时履行债务，也可以直接要求担保人在保证范围内负责。 - 担保人的义务范围包括主债权及利息、违约金、损害赔偿金和实现债权的费用等，具体依据保证合同的约定来确定。

在面临法院起诉时，担保人应积极应诉，准备答辩材料，并收集有利于自己的证据。同时，担保人也可以考虑咨询专业律师（如我这样的经济纠纷领域专业律师），以获取更具体的法律建议和策略。

总之，担保人在被法院起诉后应承担的义务取决于担保的类型和具体约定。在一般保证下，担保人享有先诉抗辩权；而在连带责任保证中，担保人则需直接承担保证责任。无论哪种情况，担保人都应积极应对诉讼，并寻求合法的救济途径。